国語力は数学の証明に役立つ。

 昔の証明を見ていて、文章力は数学の証明に役立つ、そして、また逆も然りだと思えた。

fgV→Wを線形写像dimVdimWとするとき、次の不等式を証明せよ。
Dim Kerfg≦dimKerf∩Kerg)+dimImf∩Img
 
 
{方針}KerfKergに入るか否かで直和に分解していく。
 
Proof
 
V1={x|xKerfに属さない}
V2={x|xKergに属さない}
V3={x|xKe(f+g)に属さない}
とする。
 
dimV1=dimImf,dimV2=dimImg
V=V1∩V2+Kerf∩V2+V1∩Kerg+kerf∩Kerg
V=V3+Ker(f+g)
(+は直和)
 
ここで
dimV=dim(V1∩V2)+dim(Kerf∩V2)
+dim(V1∩Kerg)+dim(kerf∩Kerg)
 
x∈Kerf∩V2の時
(f+g)(x)=g(x)≠0
よって
xKerf(f+g)に属さない
 
x∈V1∩Kergの時
(f+g)(x)=f(x)≠0
よって
xKer(f+g)に属さない
 
よってKerf∩V2⊆V3,V1∩Kerg⊆V3
(Kerf∩V2)∩(V1∩Kerg)=0より
Kerf∩V2+V1∩Kerg⊆V3
(+は直和)
したがってdimV3≧dim(Kerf∩V2+V1∩Kerg)
=dim(Kerf∩V2)+dim(V1∩Kerg)
dimKer(f+g)=dimV-dimV3
≦dimV-dim(Kerf∩V2)-dim(V1∩Kerg)
=dim(V1∩V2)+dim(kerf∩Kerg)
 
 
      Q..